نمونه سوالات ساختمان داده با پاسخ تشریحی - مثال های ساختمان داده

با هر بار تکرار حلقه بیرونی (حلقه‌ای که شرط خاتمه‌اش روی i است)، حلقه داخلی $log_۳^n$ بار اجرا می‌شود و در هربار اجرا حلقه داخلی؛ i تقسیم بر ۲ می‌شود و این بدان معناست که i در هر بار اجرا حلقه بیرونی تقسیم بر $۲^{log_{۳}^n}$ می‌شود و این کار تا زمانی ادامه دارد که $i>۱$ باشد. بنابراین حلقه خارجی $log_{{۲}^{log_۳^n }}^n$ بار اجرا می‌شود که در هر بار اجرا آن حلقه داخلی $log_۳^n$ بار اجرا می‌شود، بنابراین تعداد اجزا جمله  $x+=۱$ برابر است با:

(نکته: $log_{c^d}^{a^b }=\frac{b}{a} log_c^a$)                                   $log_{۲^{log_۳^n }}^n\times log_۳^n= \frac{۱}{log_۳^n}\times log_۲^n\times log_۳^n=log_۲^n$

از روی گزینه‌­ها می­‌فهمیم که قرار است روی A یک عملیات انجام شود، پس مثلا به ازای 9=A سوال را بررسی می‌کنیم.

$G_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\mathrm{,\ }H_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{1}}=\mathrm{9}$

$G_{\mathrm{2}}=\frac{G_{\mathrm{1}}+H_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{9}}{\mathrm{2}}\mathrm{=}\mathrm{5\ }\mathrm{,\ }H_{\mathrm{2}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{5}}\mathrm{=}\mathrm{1/8}$

$G_{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{5}+\mathrm{1/8}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{34}}{\mathrm{10}}\mathrm{=}\mathrm{3/4\ }\mathrm{,\ }H_{\mathrm{3}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{3/4}}\mathrm{\simeq }\mathrm{2/64}$

$G_{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3/4}+\mathrm{2/64}}{\mathrm{2}}=\mathrm{3/02\ }\mathrm{\ ,\ }H_{\mathrm{4}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{3/02}}\mathrm{\simeq }\mathrm{2/9}$

مشخص است که $A = {H_n} \times {G_n}$ است و هدف کم کردن اختلاف ${G_n},{H_n}$. پس در واقع $A = {G_n} \times {G_n}$؛ داریم:

$G^{\mathrm{2}}_n=A\Rightarrow G_{\mathrm{n}}=\sqrt{A}$

Function(int n){
$\qquad$ If(n==l) return;$\mathrel{\mathop{\kern0pt\longrightarrow}
\limits_{}} $O(l)
$\qquad$ for(int i=l;i $\le$ n;i++){$\mathrel{\mathop{\kern0pt\longrightarrow}
\limits_{}} $O(n)
$\qquad\qquad$for(int j=l;j $\le$ n;j++){$\mathrel{\mathop{\kern0pt\longrightarrow}
\limits_{}} $O(l)
$\qquad\qquad\qquad$Printf(''*'');
$\qquad\qquad\qquad$Break;}}
}

برای الگوریتم B رابطه بازگشتی $T(n)=T(n-\mathrm{3}\mathrm{)}+n^{\mathrm{2}}$ را داریم که با استفاده از تئوری مستر میزان پیچیدگی برابر با $O(n^{\mathrm{3}})$ می‌باشد.

یادآوری: تئوری مستر

$T(n) = \left\{ \matrix{\qquad\qquad
  c\qquad~~~~,ifn \le {\rm{1}} \hfill \cr    aT(n - b) + f(n),ifn > {\rm{1}} \hfill \cr}  \right.$

به شرطی که $b\ge 0\mathrm{,\ k\ }\mathrm{\ge }0$ و $c,a > 0$، اگر مرتبه تابع برابر با $\mathrm{f(n)=O(}n^k\mathrm{)}$، باشد، آن گاه داریم:

$T(n) = \left\{ \matrix{
  {\rm{O}}\left( {{n^k}} \right)~~~~~~\qquad,\qquad ifa \lt {\rm{1}} \hfill \cr    {\rm{O}}\left( {{n^{k + {\rm{1}}}}} \right)~~\qquad,\qquad ifa = {\rm{1}} \hfill \cr    {\rm{O}}\left( {{n^k}{a^{{n \over b}}}} \right)\qquad,\qquad ifa > {\rm{1}} \hfill \cr}  \right.$

به سادگی باید توابع را با یکدیگر مقایسه کنیم:

یاددآوری) دقت کنید $log^2 n$ با $log n^2$ برابر نیست بلکه $log^2\ n=log\ n\ast log\ n$ و $log\ n^2=2log\ n$

نکته) 

اثبات نکته بالا:

یاددآوری: با توجه به فرمول روبه رو میتوان مبنا را تغییر داد: $log_c b = \frac{log _d b}{log_d c}$

$a^{{{log}_c b\ }}=b^{{{log}_c a\ }}{{\stackrel{\text{از دو طرف می‌گیریم} \ log}{\Longrightarrow}}}{log(a}^{{{log}_c b\ }})=log(b^{{{log}_c a\ }})\to {{log}_c (b)\ }\ *\ log(a)={{log}_c (a)\ *\ log(b)\to \frac{{{log}_{10} b\ }}{{{log}_{10} c\ }}\ }*log(a)=\frac{{{log}_{10} a\ }}{{{log}_{10} c\ }}*log(b)$

حال با توجه به نکات بالا می‌فهمیم که $f(n)=4^{log\ n}=n^2$ حال به مقایسه‌ی این توابع می‌پردازیم.

${f(n)=4}^{log\ n}\ ?h(n)={{log}^2 n\ }\to \ n^2>{{log}^2 n\ }$

چون هر توان ثابتی از $n$ از هر توان ثابتی از $log\ n$ رشد بیشتری دارد.

برای تشخیص ${f(n)=4}^{log\ n}\ ?\ g(n)={(log\ n)}^{log\ n}$ دو راه داریم (البته مشخص است که دو تابع با توان یکسان داریم و پایه‌های یکی عدد ثابت و دیگری $log\ n$ است پس $g(n)$ بزرگتر است):

1-      با استفاده از حد نشان دهیم رشد کدام بیشتر است.

${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{f\left(n\right)}{h(n)}=\mathop{lim}_{n\to \infty }\frac{4^{log\ n}}{{(log\ n)}^{log\ n}}\ }=\mathop{lim}_{n\to \infty }{(\frac{4}{log\ n})}^{{log n\ }}=0$

از آنجا که نسبت یک عدد ثبات به $log\ n$ صفر خواهد شد می‌فهمیم که $4^{log\ n} \lt (log\ n)^{log\ n}$ پس داریم:

$f(n) \in O(h(n))$ یا $h(n)\in \Omega (f(n))$

2-    با توجه به اینکه هردو تابع صعودی و بزرگتر از یک هستند از روی رشد $log$هایشان نیز می‌توان مشخص نمود:

${f(n)=4}^{log\ n}\ ?\ g(n)={(log\ n)}^{log\ n}\stackrel{\text{از دو طرف می‌گیریم}\ log}{\Longrightarrow}log(4^{log\ n}){\ ?\ log((log\ n))}^{log\ n}\to log(n)*log(4) \lt log(n)*log(log(n))\to f(n)\lt g(n)$

پس داریم:

$f(n) \in O(g(n))$ یا $g(n) \in \Omega (f(n))$

برای تشخیص $h(n)= log ^2 \ n \ ? \ g(n)= (log \ n)^{log \ n}$ دو راه داریم (البته مشخص است که دو تابع با پایه یکسان داریم و توان یکی عدد ثابت و دیگری $log\ n$ است پس $g(n)$ بزرگتر است):

1-      با استفاده از حد نشان دهیم رشد کدام بیشتر است.

${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{g\left(n\right)}{h(n)}=\mathop{lim}_{n\to \infty }\frac{{(log\ n)}^{log\ n}}{{{\ log}^2 n\ }}\ }=\mathop{lim}_{n\to \infty }{(log\ n)}^{{log n\ }-2}=\infty $

از آنجا که نسبت یک برابر با بینهایت شد می‌فهمیم که $log^2\ n\ \lt \ (log\ n)^{log\ n}$

2-    با توجه به اینکه هردو تابع صعودی و بزرگتر از یک هستند از روی رشد $log$هایشان نیز می‌توان مشخص نمود:

$h\left(n\right)={{\ log}^2 n\ }?g\left(n\right)={\left(logn\right)}^{log\ n}\stackrel{\text{از دو طرف می‌گیریم}\ log}{\Longrightarrow}log\left({{log}^2 n\ }\right){?log\left(\left(logn\right)\right)}^{log\ n}\to 2log\left(n\right) \lt log\left(n\right)*log\left(log\left(n\right)\right)\to h\left(n\right) \lt g\left(n\right)$

پس داریم:

$h(n) \in O(g(n))$ یا $g(n)\in \Omega (h(n))$ و در کل می‌فهمیم که $h(n)\lt f(n)\lt g(n)$

حال با توجه به توضیحات بالا می‌فهمیم که گزینه صحیح است.

یاددآوری: 

Big O: تابع f(n) از مرتبه O(g(n)) است هرگاه رشد f  کمتر مساوی رشد g باشد.

$\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{O}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)\mathrm{\to }\mathrm{\exists }\mathrm{c,}{\mathrm{n}}_0\mathrm{>0\ ,\ }\mathrm{\forall }\mathrm{\ n}\mathrm{\ge }\mathrm{\ }{\mathrm{n}}_0\mathrm{\ }\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{\ }\underbrace{0}_{\text{رشد}\mathrm{\ }\text{برای}\mathrm{\ }\text{توابع}\mathrm{\ }\text{منفی}\mathrm{\ }\text{معنی}\mathrm{\ }\text{ندارد}}\mathrm{\le }\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\le }\mathrm{c.g(n)}$

O بزرگ کران بالا را مشخص می‌کند. 

دقت شود O یک مجموعه است و در نتیجه توابع می‌توانند عضو این مجموعه باشند اما به صورت اشتباه رایج از مساوی برای عضویت استفاده می‌شود.

$\mathrm{O}\left({\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{=}\mathrm{\{}\mathrm{\dots ,\ log}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{,\ }\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\mathrm{,\ n\ ,\ n.lo}\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{,\ 3}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\mathrm{+5,\ \dots .}\mathrm{\}}$

big $\Omega$ : تابع f(n) از مرتبه $\Omega$(g(n)) است هرگاه رشد f بیشتر مساوی رشد g باشد.

$\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{\Omega }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)\mathrm{\to }\mathrm{\exists }\mathrm{c,}{\mathrm{n}}_0\mathrm{>0\ ,\ }\mathrm{\forall }\mathrm{\ n}\mathrm{\ge }\mathrm{\ }{\mathrm{n}}_0\mathrm{\ }\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{\ }0\mathrm{\le }\mathrm{c.g}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\le }\mathrm{f(n)}$

$\Omega$ بزرگ کران پایین را مشخص می‌کند. 

دقت شود $\Omega$  یک مجموعه است و در نتیجه توابع می‌توانند عضو این مجموعه باشند اما به صورت اشتباه رایج از مساوی برای عضویت استفاده می‌شود.

$\mathrm{O}\left({\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\right)\mathrm{=}\mathrm{\{}\mathrm{\dots ,}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\mathrm{,\ }{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\mathrm{,\ n!,\ }{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\mathrm{log}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{,\dots .}\mathrm{\}}$

با توجه به خواص مجانبی می‌توان عبارات زیر را نتیجه گرفت.

${\mathop{\mathrm{lim}}_{\mathrm{n}\mathrm{\to }\mathrm{\infty }} \frac{\mathrm{f(n)}}{\mathrm{g(n)}}\ }\mathrm{=}\left\{ \begin{array}{c}\mathrm{\infty }\mathrm{\leftrightarrow }\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\in }\mathrm{\omega }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)\mathrm{\leftrightarrow }\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{o}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\right) \\ \mathrm{0}\mathrm{\leftrightarrow }\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{o}\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)\mathrm{\leftrightarrow }\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{\omega }\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\right) \\ \mathrm{0 \lt c \lt }\mathrm{\infty }\mathrm{\leftrightarrow }\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{\theta }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)\mathrm{\leftrightarrow }\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\in }\mathrm{\theta }\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{n}\right)\right) \end{array}\right.$

(خواص لگاریتم) $f_۱=lg[(lgn)^۳ ]=۳lglgn∈O(f_۶=(lglgn)^۳ )$
(توابع چندجمله‌ای از تمامی توابع لگاریتمی با هر توانی رشد سریع‌تری دارند) $f_۶=(lglgn)^۳∈O(f_۳=۳^{lgn}=n^{lg۳} )$ $f_۳=۳^{lgn}=n^{lg۳}∈O(f_۵=lg(۳n^{n^۳})=n^۳  lg⁡(۳n) )$ (خواص لگاریتم) $f_۵=lg(۳n^{n^۳})=n^۳  lg⁡(۳n)∈O(f_۲=(lgn)^{۳lg۳n}=(lgn)^{lg۲۷n^۳}=(۲۷n^۳ )^{lglgn} )$ $f_۲=(lgn)^{۳lg۳n}=(۲۷n^۳ )^{lglgn}∈O(f_۴=n^{۳^{lgn}}=n^{n^{lg۳}})$

$f(n) = O({n^{\rm{2}}}) \Rightarrow f(n) \le c{n^{\rm{2}}};~\forall n \ge n$

$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\Rightarrow c'n~lg~n \le c{n^{\rm{2}}}$

$g(n) \in O(n~lg~n) \Rightarrow g(n) \le c'n~lg~n;~\forall n \ge {n_{\rm{1}}}$

چه وقتی ممکن است نقض شود؟

اگر ${c^{\rm{'}}}$ خیلی بزرگ باشد و c خیلی کوچک باشد.

${{f(n)} \over {g(n)}} \ge 1\buildrel {n,{n_0}} \over  \longrightarrow {{c{n^{\rm{2}}}} \over {g(n)}} \ge {\rm{1}}\buildrel {n \ge {n_1}} \over  \longrightarrow {{c{n^{\rm{2}}}} \over {c'n\;lg\;n}} \ge {\rm{1}}$

مثلا فرض کنید ${c^{\rm{'}}}$ برابر ۱۰۰۰ باشد و c برابر ۱ باشد $(1000n~\lg~n?{n^2})$، خب هر چقدر هم که بیشتر شدن مقدار n باعث بشود که ${n^2}$ رشدش از n lg n بیشتر بشود ولی زورش به ۱۰۰۰ نمی‌رسد، پس برای این که ${n^2}$ بزرگتر بشه از $1000n~\lg~n$، باید n عدد بزرگی باشد. قرار شد $c'n\ lg\ n\le {cn}^{\mathrm{2\ }}$ باشد، حالا اگر c از ${c^{\rm{'}}}$ بزرگتر باشد که در این صورت $c{n^2}$ خیلی بهتر از $c'n\ lg\ n$ است ولی اگر c کوچکتر از ${c^{\rm{'}}}$ باشد، حالا وظیفه n است که با بزرگتر خودش، کوچکی c به ${c^{\rm{'}}}$ را جبران کند.

${(n+k)}^m\mathrm{=}n^m\mathrm{+C}\mathrm{1^*\ }n^{m-\mathrm{1}}\mathrm{+...+}k^m\mathrm{=}\mathrm{\theta }\mathrm{(}n^m\mathrm{)}$

${\mathrm{2}}^{n+\mathrm{1}}=\mathrm{2}^\mathrm{*}{\mathrm{2}}^n=\mathrm{O(}{\mathrm{2}}^n\mathrm{)}$

در حالت کلی داریم: ${(\log n)^c} \lt {n^b} \lt {a^n} \lt n! \Leftarrow a,b,c \gt 1$

ابتدا باید مرتبه زمانی هر دو برنامه را به دست بیارویم. برای برنامه A داریم:

$\lambda  = 1 \Rightarrow n$ بار

$i = 2 \Rightarrow {n \over 2}$

$i = 3 \Rightarrow {n \over 3}$

$\cdot\qquad   \Rightarrow n + {n \over 2} + {n \over 3} + ... + n \Rightarrow n(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over n}) = \theta (n\log n)$

$\cdot$

$\cdot$

$i = 2 \Rightarrow {n \over 2}$

برای برنامه B داریم، $T(n) = 2T(n - 3) + n$ بنابر قضیه مستر مرتبه اجرای این برنامه برابر است با $\theta ({2^{{n \over 3}}})$

بنابر مفروضات مسئله داریم ${V_2} = {1 \over {128}}{V_1}$ حال با استفاده از رابطه ${{O({n_2})} \over {O({n_1})}} = {{{t_2}} \over {{t_1}}} \times {{{v_2}} \over {{v_1}}}$

${{{2^{{n \over 3}}}} \over {n\log n}} = {{{t_2}} \over {5m\,\sec }} \times {1 \over {128}}{{{V_1}} \over {{V_1}}} \Rightarrow {{{2^{{6 \over 3}}}} \over {32\log 32}} = {{{t_2}} \over {5m\,\sec }} \times {1 \over {{2^7}}} \Rightarrow {t_2} = {{{2^2} \times 5 \times {2^7}} \over {{2^5} \times 5}} = 16m\,\sec $

$T(n)\ =\frac{\ 2}{n}(T\left(0\right)+\ T\left(1\right)+T\left(2\right)+\ldots+T\left(n-1)\right)+n$

ابتدا رابطه اصلی را در n ضرب می‌کنیم و سپس در رابطه بدست آمده به جای n+1، n قرار می‌دهیم:

$nT(n)\ =2(T\left(0\right)+\ T\left(1\right)+T\left(2\right)+\ldots+T\left(n-1)\right)+n^2\ (\ast)$ $(n+1)T(n+1)\ =2(T\left(0\right)+\ T\left(1\right)+T\left(2\right)+\ldots+T\left(n)\right)+({n+1)}^2\ (\ast\ast)$

سپس رابطه $(\ast \ast)$ را از منفی رابطه $(\ast)$ می‌کنیم:

$\left(n\mathrm{+1}\right)T\left(n\mathrm{+1}\right)\mathrm{-}nT\left(n\right)\mathrm{=2}T\left(n\right)\mathrm{+2}n\mathrm{+1}\mathrm{\to }\left(n\mathrm{+1}\right)T\left(n\mathrm{+1}\right)\mathrm{=}\left(n\mathrm{+2}\right)T\left(n\right)\mathrm{+2}n\mathrm{+1}$ 

$T\left(n\mathrm{+1}\right)=\frac{\left(n\mathrm{+2}\right)T\mathrm{(}n\mathrm{)}}{n\mathrm{+1}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{2}n\mathrm{+1}}{\left(n\mathrm{+1}\right)}{{\stackrel{\text{تقسیم}\mathrm{\ }\text{می‌کنیم }\mathrm{\ }\mathrm{n+2}\mathrm{\ }\text{طرفین }\mathrm{\ }را\mathrm{\ }\text{بر}\mathrm{\ }}{\longrightarrow}}}\frac{T\mathrm{(}n\mathrm{+1)}}{n\mathrm{+2}}=\frac{T\mathrm{(}n\mathrm{)}}{\left(n\mathrm{+1}\right)}\mathrm{+}\frac{\mathrm{2}n\mathrm{+1}}{\left(n\mathrm{+1}\right)\left(n\mathrm{+2}\right)}$ 

حال اگر تابع $g(n) = \frac{T(n)}{n+1}$ را به این صورت تعریف ‌کنیم، با توجه به رابطه بازگشتی‌ای که در بالا بدست آوردیم خواهیم داشت:

$g\left(n+1\right)\mathrm{=}g\left(n\right)\mathrm{+}\frac{\mathrm{2}n\mathrm{+1}}{\left(n\mathrm{+1}\right)\left(n\mathrm{+2}\right)}\stackrel{اگر\mathrm{\ }\text{این}\mathrm{\ }\text{رابطه}\mathrm{\ }\text{بازگشتی}\mathrm{\ }را\mathrm{\ }\text{باز}\mathrm{\ }\text{کنیم}\mathrm{\ }\text{خواهیم}\mathrm{\ }\text{داشت}}{\longrightarrow}$ 

$g\left(n+1\right)\mathrm{=}\frac{\mathrm{2}n\mathrm{+1}}{\left(n\mathrm{+1}\right)\left(n\mathrm{+2}\right)}\mathrm{+}\frac{\mathrm{2}n\mathrm{-}\mathrm{1}}{\mathrm{(}n\mathrm{)(}n\mathrm{+1)}}\mathrm{+\dots +}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2\times 3}}\mathrm{\ +}g\mathrm{(1)}$ 

$\mathrm{\to }g\left(n+1\right)\mathrm{=}\left(\mathrm{2}n\mathrm{+1}\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{n\mathrm{+1}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{n\mathrm{+2}}\right)\mathrm{+\dots +3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{+}g\left(\mathrm{1}\right)$ 

$= g\left(n+1\right)\mathrm{=\ }\left(\frac{\left(\mathrm{2}n\mathrm{+1}\right)}{n\mathrm{+1}}\mathrm{-}\frac{\left(\mathrm{2}n\mathrm{+1}\right)}{n\mathrm{+2}}\right)\mathrm{+\ }\left(\frac{\left(\mathrm{2}n\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}{n}\mathrm{-}\frac{\left(\mathrm{2}n\mathrm{-}\mathrm{1}\right)}{n\mathrm{+1}}\right)\mathrm{+\ \dots \ +}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{+}g\left(\mathrm{1}\right)\mathrm{\ }$ 

$\mathrm{=2}\left(\frac{\mathrm{1}}{n\mathrm{+1}}\mathrm{+}\frac{\mathrm{1}}{n}\mathrm{+\dots +}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{+\ }\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\frac{\mathrm{2}n\mathrm{+1}}{n\mathrm{+2}}\mathrm{=}O\left(logn\right)\mathrm{\to }T\left(n\right)\mathrm{=}O\left(nlogn\right)$ 

واضح است که گزینه‌ 3 از $O(n^2)$ است و گزینه 1و 4 نیز $O(n)$ .

می دانیم که گزینه دوم $\omega (\sqrt n)$ زیرا اگر به رابطه دقت کنید، در سمت راست تساوی داریم، $\sqrt n×99×T(\sqrt n)+100 × n$ ، از طرفی به کمک حدس  زدن نشان خواهیم داد که:

${Suppose}:\ {T}\left({n}\right)\sim{n}^{k}$ ${T}\left({n}\right)=\sqrt{n}\times\sqrt{\mathbf{99}\times{T}\left(\sqrt{n}\right)+\mathbf{100}}$ $\sqrt{n}\times\sqrt{\mathbf{99}\times{T}\left(\sqrt{n}\right)+\mathbf{100}}\ \ \sim\sqrt{n}\times\sqrt{\mathbf{99}\times{n}^\frac{{k}}{\mathbf{2}}+\mathbf{100}}$ ${n}^{k}\sim\sqrt{n}\times{n}^\frac{{k}}{\mathbf{4}}$ ${k}=\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}+\frac{{k}}{\mathbf{4}}\rightarrow{k}=\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$ ${T}\left({n}\right)\sim{O}\left({n}^\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\right)$

روش دوم:

${Suppose}:\ {T}\left({n}\right)\sim{{cn}}^\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

جایگذاری کنید:

$\sqrt{n}\times\sqrt{\mathbf{99}\times{{cn}}^\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}+\mathbf{100}}\le{c}{n}^\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\ ~\ {c}{n}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}+\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{6}}}\le{c}{n}^\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}$

با استفاده از قضیه مستر می‌دانیم که:

برای عبارت $T(n)=aT(\frac{n}{b})+f(n),\ a\ge 1,b>1$ مرتبه سه حالت داریم:

$1- \ \ n^{{{log}_b a\ }}>f\left(n\right)\Rightarrow T\left(n\right)\ \epsilon \ \theta \left(n^{{{log}_b a\ }}\right)$

$2-\ \ n^{{{log}_b a\ }} \lt f\left(n\right)\Rightarrow T\left(n\right)\ \epsilon \ \theta \left(f\left(n\right)\right)$

$3-\ \ n^{{{log}_b a\ }}=f\left(n\right)\Rightarrow T(n)\ \epsilon \ \theta (f\left(n\right)*log(n))$

نکته) اگر در $f(n)$، هر توانی از $lg(n)$ را کنار می‌گذاریم و بخش باقی‌مانده از آن را با سمت چپ مقایسه می‌کنیم سه حالت رخ می‌دهد

4-      اگر سمت چپ بزرگتر باشد مرتبه برابر سمت چپی می‌شود

5-    اگر سمت راستی بزرگتر باشد، مرتبه برابر با سمت راستی ضرب در $lgn$ (یعنی همون $f(n)$) خواهد بود.

6-    اگر برابر باشند مرتبه برابر با $f(n)$ ضرب در $lgn$ می‌شود

حال برای عبارت بالا داریم $ n^{{{log}_3 9\ }}=n^2\ ?\ f\left(n\right) $ در نتیجه برای اینکه این شرط برقرار باشد باید به صورت زیر عمل کنیم و هر تابع را امتحان کرده و $f(n)$ پیدا کنیم که شرط $\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left(\mathrm{g}\left(\mathrm{n}\right)\right)$ برقرار می‌سازد.

$\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left(n\ lg\left(\mathrm{n}\right)\right)\mathrm{\Rightarrow }\text{وجود}\mathrm{\ }\text{ندارد}$ $\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left({\mathrm{n}}^2\right){{\stackrel{f(n)=n}{\Longrightarrow}}}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\mathrm{>n}\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left({\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\right)$ $\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left({\mathrm{n}}^2l{\mathrm{g}}^2n\right){{\stackrel{f(n)={\mathrm{n}}^2l\mathrm{g\ }n}{\Longrightarrow}}}{\mathrm{n}}^2\mathrm{=}{\mathrm{n}}^2\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left({\mathrm{n}}^2l{\mathrm{g}}^2n\right)$ $\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left({\mathrm{n}}^3\right){{\stackrel{f(n)=n}{\Longrightarrow}}}{\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\mathrm{>n}\mathrm{\Rightarrow }\mathrm{T}\left(\mathrm{n}\right)\mathrm{\ }\mathrm{\epsilon }\mathrm{\ }\mathrm{\theta }\left({\mathrm{n}}^{\mathrm{3}}\right)$

برای این سوال درخت بازگشتی را رسم می­‌کنیم.

                                                                                جمع

$\qquad~~~~\qquad\qquad n\qquad\qquad\qquad~~ \Rightarrow n$

$\qquad~~~~~~\qquad\alpha {n \over 2}\qquad\qquad(1 - \alpha ){n \over 2}\qquad~~~~~~\Rightarrow n$

${\alpha ^2}{n \over 4} + (1 - \alpha )\alpha {n \over 4}\qquad\qquad(1 - \alpha )\alpha {n \over 4}\qquad\qquad{(1 - \alpha )^2}{n \over 4} \Rightarrow {n \over 4}$

$ \Rightarrow\text{ جمع } n + {n \over 2} + {n \over 4} + {n \over 8} + ... \Rightarrow n(1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + ...) \Rightarrow 2n \Rightarrow O(n)~~~~~~~~~~$

تصاعد هندسی با جمله اول 1 و قدرت نسبت $ \Leftarrow a \times {{{q^n} - 1} \over {q - 1}} \Leftarrow {1 \over 2}$ اگر n خیلی زیاد باشد. 

${a \over {1 - q}} \Rightarrow {1 \over {{1 \over 2}}} = 2$

ابتدا باید مرتبه زمانی هر دو برنامه را به دست بیارویم. برای برنامه A داریم:

$\lambda  = 1 \Rightarrow n$ بار
$i = 2 \Rightarrow {n \over 2}$ $i = 3 \Rightarrow {n \over 3}$ $\cdot\qquad   \Rightarrow n + {n \over 2} + {n \over 3} + ... + n \Rightarrow n(1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + ... + {1 \over n}) = \theta (n\log n)$ $\cdot$ $\cdot$ $i = 2 \Rightarrow {n \over 2}$

برای برنامه B داریم، $T(n) = 2T(n - 3) + n$ بنابر قضیه مستر مرتبه اجرای این برنامه برابر است با $\theta ({2^{{n \over 3}}})$

بنابر مفروضات مسئله داریم ${V_2} = {1 \over {128}}{V_1}$ حال با استفاده از رابطه ${{O({n_2})} \over {O({n_1})}} = {{{t_2}} \over {{t_1}}} \times {{{v_2}} \over {{v_1}}}$

${{{2^{{n \over 3}}}} \over {n\log n}} = {{{t_2}} \over {5m\,\sec }} \times {1 \over {128}}{{{V_1}} \over {{V_1}}} \Rightarrow {{{2^{{6 \over 3}}}} \over {32\log 32}} = {{{t_2}} \over {5m\,\sec }} \times {1 \over {{2^7}}} \Rightarrow {t_2} = {{{2^2} \times 5 \times {2^7}} \over {{2^5} \times 5}} = 16m\,\sec $

اعداد ۵ تا ۱۲ را در نظر بگیرید که !۸ جایگشت دارند. اگر عدد ۵ یا ۱۲ زودتر از 4 تا 11 وارد شوند حتماً 5 در ۱۲ با هم مقایسه می‌شوند. تعداد حالاتی که 5 زودتر وارد شود !7 و تعداد حالاتی که ۱۲ زودتر وارد شود نیز !7 است پس:

$\text{احتمال}=\frac{\mathrm{2\times 7!}}{\mathrm{8!}}\mathrm{=}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}$

درج هر عنصر در ساختمان داده Red-Black Tree یا منجر به تغییر رنگ می‌شود و یا حداکثر ۲ دوران انجام می‌شود.

با توجه به این که پیمایش inorder یک درخت BST صعودی است با داشتن دو پیمایش inorder و preorder درخت قابل ترسیم است.

20 ,26 ,22 ,24 ,23 ,10 ,15 ,6 ,5: Post

26 ,24 ,23 ,22 ,20 ,15 ,10 ,6 ,5: In

با توجه به مفروضات مسئله ریشه در عمق صفر قرار دارد. همان طور که در شکل زیر نشان داده شده است بیش ترین عمق درخت برابر با ۹ می‌­باشد.

در یک درخت باینری کامل هر سطح شامل 2i گره می‌­باشد (همچنین هر گره در سطح i دارای عمق i و ارتفاع h-i می‌باشد) حال می‌خواهیم مجموعه تمامی ارتفاع‌ها را حساب کنیم.

$S\mathrm{=}\sum\limits_{i = \circ}^h {} {{\mathrm{2}}^i\mathrm{(}h\mathrm{-}i\mathrm{)}\mathrm{\Rightarrow }S\mathrm{=}h\mathrm{+}\mathrm{2}\mathrm{(h-}\mathrm{1}\mathrm{)+}\mathrm{4}\mathrm{(h-}\mathrm{2}\mathrm{)+...\ +}{\mathrm{2}}^{\mathrm{h-}\mathrm{1}}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}$

حال طرفین را در 2 ضرب می‌کنیم

$\mathrm{2}S\mathrm{=2}\mathrm{h+}\mathrm{4}\mathrm{(h-}\mathrm{1}\mathrm{)+}\mathrm{8}\mathrm{(h-}\mathrm{2}\mathrm{)+...\ +}{\mathrm{2}}^{\mathrm{h}}\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

حال S را از رابطه­‌ی 2S-S بدست می‌­آوریم 

$\mathrm{2}S\mathrm{-}S\mathrm{=}\mathrm{-h+}\mathrm{2}\mathrm{+}\mathrm{4}\mathrm{+...+}{\mathrm{2}}^{\mathrm{h}}\mathrm{\Rightarrow }S\mathrm{=(}{\mathrm{2}}^{\mathrm{h}\mathrm{+1}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)-}\mathrm{(h-}\mathrm{1}\mathrm{)}$

با توجه به این که مجموع تمامی گره‌ها در یک درخت کامل برابر n است داریم ${\mathrm{n=}\mathrm{2}}^{\mathrm{h}\mathrm{+1}}\mathrm{-}\mathrm{1}$ بنابراین داریم $\mathrm{h=log(n}\mathrm{+1}\mathrm{)}$ در نهایت با جایگذاری داریم

$S\mathrm{=}\mathrm{n-(h}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{)}\mathrm{\Rightarrow }O\mathrm{(}n\mathrm{-}log~n\mathrm{)}\mathrm{\Rightarrow }O\mathrm{(}n\mathrm{-}h\mathrm{)}$

راه حل 1 عدد گذاری)

با توجه به اینکه گزینه ها رابطه دقیقی از n داده اند کافیست برای n=2 چک کنیم و گزینه صحیح را پیدا کنیم:

برای n=2 و یک مجموعه دو عضوی، بیشترین تعداد زوج معکوس به صورت A=[max min] خواهد بود (جای max و min عدد هم می‌توانید بذارید مثلا A = [25 14]) در نتیجه بیشترین تعداد زوج معکوسی برابر با 1 است و فقط گزینه 1 صحیح است.

راه حل 2 اثبات)

به توضیحات  زیر توجه کنید:

وارونگی نسبت به صعودی بودن:

وقتی یک آرایه داریم و برای دو عنصر A[i] , A[j] با جایگاه (اندیس) به ترتیب i, j شرط زیر برقرار است می‌گوییم که یک وارونگی (زوج- معکوس بر اساس این تست یا inversion) داریم.

$j \gt i but A[i] \gt A[j]$

برای پیدا کردن وارونگی ها از سمت چپ به راست، حرکت می‌کنیم تمامی عناصری که از یک عنصر کوچکتر هستند با آن عنصر وارونه هستند.

مثال) آرایه زیر چند وارونگی دارد:

$\mathrm{A}\left[\mathrm{1\dots 5}\right]\mathrm{=}\left[\mathrm{12\ 4\ 9\ 7\ 5}\right]$

وارونگی ها:

$\left(12,4\right)\left(12,9\right)\left(12,7\right)\left(12,5\right) \\ \left(9,7\right)\left(9,5\right) \\ \left(7,5\right)$

در کل 7 وارونگی داریم.

نکته) آرایه صعودی وارونگی ندارد.

نکته) آرایه نزولی max تعداد وارونگی دارد.

راه اثبات 1)

چون هر عنصر با تمامی عناصر بعدش وارونگی دارد پس تعداد وارونگی آرایه نزولی برابر است با 

$\underbrace{n-1}_{\text{تعداد}\mathrm{\ }\text{عناصر}\mathrm{\ }\text{بعد }\mathrm{\ }\text{از }\mathrm{\ }\text{عنصر}\mathrm{\ }\text{اول}}+\underbrace{n-2}_{\text{تعداد }\mathrm{\ }\text{عناصر}\mathrm{\ }\text{بعد }\mathrm{\ }\text{از }\mathrm{\ }\text{عنصر}\mathrm{\ }\text{اول}\mathrm{\ }}+\cdots +1+\underbrace{0}_{\text{عنصر}\mathrm{\ }\text{آخر}\mathrm{\ }}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}$

دقت کنید تعداد وارونگی ها را دوبار نشمارید برای مثال عنصر آخر با تمامی عناصر قبل از خودش وارونگی دارد اما چون در محاسبه $n-1$ قبلی این وارونگی ها به حساب آورده ایم نباید $n-1$ وارونگی هم برای عنصر آخر جمع کنیم.

راه اثبات 2)

هر دو عنصری که انتخاب کنیم چون آرایه نزولی است قطعا شرط j > i but A[i] > A[j] برقرار است پس تعداد وراونگی برابر تعداد انتخاب بدون ترتیب دو عنصر از n عنصر است.

$\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)=\frac{n(n-1)}{2}$

موارد گفته شده را در آرایه نزولی زیر می‌توانید امتحان کنید.

$A\left[1\dots 4\right]=\left[12\ 8\ 5\ 3\ 1\right]$

نکته) متوسط تعداد وارونگی ها در یک آرایه برابر با $\frac{n(n-1)}{4}$ است.

اثبات:

روش 1:

فرض کنید L یک لیست دلخواه از عناصر است و $L_R$ لیستی با عناصر L است که به صورت برعکس چیده شده است برای مثال:

$L=\left[b\ e\ f\ a\ g\right]\ ,\ L_R=[g\ a\ f\ e\ b]$

حالا دو عضو از لیست L انتخاب می‌کنیم، برای این کار $\left( \begin{array}{c}n \\ 2 \end{array} \right)$ حالت وجود دارد. دو عضوی که انتخاب کردیم در حداقل یکی از لیست های $L$ یا $L_R$ با یکدیگر وارونگی دارند. بنابراین می‌توان نتیجه گرفت در دو لیست $L$ و $L_R$ در مجموع $\left( \begin{array}{c} n \\ 2 \end{array} \right)$ وارونگی وجود دارد. 

حال برای اعضای هر لیستی $n!$ جایگشت وجود دارد که این تعداد جایگشت را به دو مجموعه ی مجزا که یکی شامل $L$ ها و دیگری شامل $L_R$ ها است تقسیم می‌کنیم (به عبارت دیگر نصفی از جایشگت ها برعکس شده ی نصفه ی دیگر هستند). در نتیجه می‌توان فهمید که میانگین وارونگی ها در کل جایشگت های برابر است با $\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$.

روش 2 (استقرا):

در استقرا ابتدا برای تعدادی عدد کوچک درستی قضیه $P(n)$ را چک می‌کردیم و سپس قضیه را برای $P(k)$ درست فرض می‌کردیم و برای $P(k+1)$ درستی آن را اثبات می‌کردیم. برای قضیه "تعداد میانگین وارونگی برابر است با $\frac{\frac{n(n-1)}{2}}{2}=\frac{n(n-1)}{4}$" ابتدا برای آرایه ای با n=1 آن را چک می‌کنیم سپس برای P(K) ان را اثبات می‌کنیم. (اثبات کامل را در این لینک می‌توانید مطالعه کنید)

نکته) زمان اجرا الگوریتم مرتب سازی درجی مستقیماً به تعداد وارونگی ها بستگی دارد و اگر آرایه    وارونگی داشته باشد زمان اجرای مرتب سازی درجی برابر $(\theta (n+1))$ است.

نکته) با مرتب سازی درجی و ادغامی می‌توان تعداد وارونگی ها شمرد.

نحوه شمردن مرتب سازی درجی:

در الگوریتم مرتب سازی درجی یک شمارنده اضافه می‌کنیم. هر جابه‌جایی که انجام شد یکی به شمارنده اضافه می‌کنیم به معنی اینکه هر این جابه‌جایی به دلیل یک وارونگی بوده که به وسیله الگوریتم حل شده.

یاددآوری:

در مرتب سازی درجی هربار از عنصر دوم شروع می‌کنیم هر عنصر را در انتهای آرایه درج می‌کنیم با عناصر قبلی مقایسه می‌کنیم اگر جایشان درست نبود باید جابه‌جایی انجام میدادیم برای مثال:

$\mathrm{A}\left[\mathrm{1\dots 5}\right]\mathrm{=}\left[\mathrm{12\ 4\ 9\ 7\ 5}\right]$

ابتدا 4 را درج می‌کنیم پس جایش باید با 12 تغییر کند. $[4 \ 12]$

سپس 9 را درج می‌کنیم و دوباره 9 جایش را با 12 تغییر می‌دهد. $[4 \ 9 \ 12]$

7 را درج می‌کنیم به ترتیب جایش با 12 و 9 تغییر می‌دهد. $[4 \ 7 \ 9 \ 12]$

5 را درج می‌کنیم جایش را با 12، 9 و 7 تغییر می‌دهد. $[4 \ 5 \ 7 \ 9 \ 12]$

در مجموع 7 جابه‌جایی و در نتیجه 7 وارونگی داشتیم.

نحو شمردن مرتب سازی ادغامی:

در این الگوریتم نیز یک کانتر می‌گذاریم. و هر وقت کسی از لیست $y$ انتخاب شد کانتر را با تعداد تمامی عناصر موجود در لیست $x$ جمع میزنیم و این کار را در تمامی مراحل مرتب سازی ادغامی انجام می‌دهیم. ( از مقایسه آرایه های کوچک شده و تک عنصری تا آخرین مرحله.)

بنابر صورت سوال به رابطه بازگشتی زیر می‌رسیم. 

$T(n)=T(\frac{n}{\mathrm{4}})+T(\frac{\mathrm{3} n}{\mathrm{4}})+O(n)$

که با استفاده از تئوری مستر و یا درخت مرتبه اجرا برابر با $(n~log~n)O$ می­‌شود. 

مرتبه اجرا در بهترین حالت برای مرتب­‌سازی انتخابی برابر با $O~(n^\mathrm{2})$ ادغامی برابر $O\left(n~log~n\right)$، مرتب‌سازی درجی برابر $O~(n)$ و جست‌و‌جوی دودویی برابر $\ O\left(log\ n\right)$می‌­باشد. 

مرتب بودن دو طرف عنصر P[i] استفاده از ایده جست­‌و‌جوی دودویی را فراهم می‌کند. در واقع می‌­توانیم مشابه الگوریتم جست‌­و‌جوی دودویی عمل کنیم ولی جهت جست‌­و‌جو را سه عنصر وسط آرایه تعیین می‌کنند. با مقایسه عنصر وسط آرایه با عناصر قبل و بعدش، یکی از سه حالت زیر رخ خواهد داد:

• حالت اول: $\mathrm{P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{]}\mathrm{>P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{]>P[}\frac{n}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\mathrm{]}$          در این حالت باید جست‌­و‌جو را در نیمه اول آرایه $\mathrm{P[1..}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{]}$ ادامه دهیم.
• حالت دوم: $\mathrm{P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{]}\mathrm{ \lt P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{] \lt P[}\frac{n}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\mathrm{]}$ در این حالت باید جست­‌و‌جو را در نیمه دوم آرایه $\mathrm{P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{+}\mathrm{1..}\mathrm{n}\mathrm{]}$ ادامه دهیم.
• حالت اول: $\mathrm{P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{-}\mathrm{1}\mathrm{]}\mathrm{ \lt P[}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{]>P[}\frac{n}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\mathrm{]}$
  در این حالت اندیس مورد جست‌­و‌جو پیدا شده است و پاسخ مسئله می‌باشد.

بنابراین در هر فاز الگوریتم، یا پاسخ مسئله را به دست می‌آوریم و یا باید در یکی از نیمه‌های آرایه به جست­‌و‌جو را ادامه دهیم. پس اگر T(n) تابع پیچیدگی زمانی این الگوریتم باشد، رابطه بازگشتی آن به صورت زیر خواهد بود:

$\mathrm{T(n)\ =T(}\frac{n}{\mathrm{2}}\mathrm{)\ +}\mathrm{\circleddash }\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}$

که مرتبه زمانی این رابطه بازگشتی O(lgn) می‌­باشد، یعنی در بدترین حالت مرتبه الگوریتم $\ominus(lgn)$ است.

برای به دست آوردن کران پایین این مسئله، محاسبات را از دید درخت تصمیم‌گیری این مسئله نگاه می‌کنیم. هر گره‌­ی داخلی این درخت از یک جفت کوزه (یک قرمز و یک سبز) که مقایسه می‌کنیم تشکیل شده است و دارای سه یال خروجی دارد. (کوزه‌ی قرمز ظرفیت کمتر، ظرفیت برابر و یا ظرفیت بیشتر نسبت به کوزه‌ی سبز). برگ‌های این درخت، گروه­‌بندی‌های یکتای کوزه­‌ها را نشان می‌دهد. ارتفاع درخت تصمیم این مسئله برابر تعداد مقایسه‌های الگوریتم در بدترین است. تعداد برگ­‌های این درخت برابر !n می‌­باشد چون هر جایگشت از کوزه‌های قرمز به همراه کوزه­‌ی سبز متناظرش یک نتیجه متفاوت را حاصل می­‌کند. هر شاخه درخت از درجه ۳ می­‌باشد و بنابراین این درخت حداکثر ${3^h}$ برگ خواهد داشت. بنابراین خواهیم داشت:

${\mathrm{3}}^h\ge n !\Rightarrow h\ge {log}_{\mathrm{3}}(n!)\Rightarrow h\mathrm{\in }\mathrm{\Omega }(n\ lg\ n)$

برای گزینه ۱ ابتدا B و A را داخل پشته قرار می‌دهیم و بلافاصله می‌خوانیم، چون مقدار pop صفر است دو عنصر بالای پشته فراخوانی می‌­شود سپس D و C را داخل پشته قرار می­‌دهیم و دوباره pop می‌­کنیم، چون مقدار pop فرد است فقط مقدار D بر می‌گردد و دوباره عمل push برای F و E انجام و بلافاصله pop که دو عنصر بالا را بر می­‌گرداند و سپس مجددا pop که فقط یک عنصر بر می‌گرداند و در نهایت H و push ،G می­‌شود و دوباره pop می‌شود و گزینه ۱ در نهایت تولید می‌شود. 

 برای مورد ۲ داریم:

برای مورد 4 داریم: 

فقط برای گزینه 3 نمی‌توان رسم کرد چون DC با هم آمده که امکان‌پذیر بنابر مسئله نمی‌باشد.