سرفصل درس محاسبات عددی

محاسبات عددی (شماره درس: ۴٠٢١۵)

Numerical Computations

اهداف درس محاسبات عددی

هدف این درس، آشنا کردن دانشجویان کارشناسی با روش های عددی حل مسائل علمی رشته های مختلف علوم و مهندسی است. این روش ها می توانند مسائل علمی رشته های مختلف را که محاسبه ی دقیق آن ها با روش های معمول ریاضی مقدور نمی باشد، به صورت تقریبی و با خطای محدود، تخمین بزنند. در برخی موارد، محاسبه ی دقیق پاسخ مسائل با روش های معمول ریاضی امکان پذیر بوده ولیکن از پیچیدگی بالایی برخوردار است. این پیچیدگی، خود باعث ایجاد برخی خطاها می شود. روش های عددی می توانند پاسخ این مسائل را با خطای محدود و با پیچیدگی کم تری تخمین بزنند. از این رو، در ابتدای این درس دانشجویان با مفاهیم مربوط به خطا، و در ادامه با روش های عددی مختلف برای حل مسائل فنی مهندسی آشنا خواهند شد. از طرفی، استفاده از محیط های نرم افزاری کارامد برای حل مسائل، مقایسه ی روش های عددی و نمایش گرافیͺ ͬنتایج برای خلاصه سازی و جمع بندی آن ها از اهداف دیگر این درس است. همچنین آشنا ساختن دانشجویان با مسائل روز دنیا که حل آنها با روش های معمول ریاضی غیرممکن بوده و یا از پیچیدگی بسیار بالایی برخوردار است، ولی روش های عددی راه حلی کارامد برای آنها ارائه شده است، می تواند در راستای آموزش کاربردی این درس نقش به سزایی داشته باشد.

سرفصل های درس محاسبات عددی

1. آشنایی با ابزار نرم افزاری مورد استفاده، مانند MATLAB یا Python (٢ جلسه)
   • محاسبات مربوط به ماتریس ها
   • بردارها و ترسیم
   • فایل ها و تعریف توابع
   • آشنایی با برخی توابع داخلی ابزار موردنظر
2. خطاها (۴ جلسه)
   • مقدمه ای بر خطاها
   • سیستم ممیز شناور
   • منشأ خطاها
   • خطاهای نسبی و مطلق
   • خطاهای گردکردن، ذاتی و برشی
   • انتشارخطا و گراف فرایند
   • ناپایداری در محاسبات عددی
3. حل عددی معادلات غیرخطی (۴ جلسه)
   • مقدمه ای بر پیدا کردن ریشه های تابع تک متغیره غیرخط
   • روش تنصیف
   • روش نابه جایی
   • روش وتری یا خط قاطع
   • روش نیوتن‐رافسون
   • روش تکرارساده یا نقطه ثابت
   • نرخ همگرائی روش های مختلف
   • شرط های لازم/کافی برای همگرائی روش های نیوتن‐رافسون، روش وتری و روش تکرار ساده
   • روش هرنر برای محاسبه مقدار چندجمله ای
   • روش تعمیم یافتة نیوتن‐رافسون برای حل دستگاه معادلات غیرخطی
   • اثبات شهودی و ریاضی روش های مذکور
4. درون یابی، برون یابی و برازش منحنی (۵ جلسه)
   • مقدمه ای بر درون یابی، برون یابی و برازش منحنی
   • روش های مختلف درون یابی شامل روش لاگرانژ، روش تفاضلات تقسیم شده ی نیوتن، روش های تفاضلات پیشرو،پسرو و مرکزی نیوتن
   • اثبات روش های مذکور و تحلیل خطا در آن ها
   • برازش به چندجمله ای ها توسط روش کمترین مربعات
   • برازش به منحنی های مختلف با کمک خطی سازی
   • برون یاب
5. انتگرال گیری و مشتق گیری عددی (۴ جلسه)
   • مقدمه ای بر انتگرال گیری و مشتق گیری عددی
   • روش های مختلف انتگرال گیری عددی شامل روش مستطیلی، روش نقطه میانی، روش ذوزنقه ای، روش گاوس‐لژاندر، روش سیمپسون 1/3 و سیمپسون 3/8 و روش رامبرگ
   • بررسی میزان خطای روش های ذکر شده
   • اثبات ریاضی و شهودی برای روش های مذکور
   • مشتق گیری عددی با استفاده از روش های مختلف شامل روش نقطه ی میانی، روش تفاضل مرکزی، روش سه نقطه ای
   • تحلیل مرتبه ی خطای روش های مذکور و استفاده از مفهوم برون یابی ریچاردسون برای بهبود نتایج مشتق گیری عددی
6. حل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه (۴ جلسه)
   • مقدمه ای بر معادلات دیفرانسیل
   • روش های تک گامی شامل روش تایلور، روش اویلر، روش اویلر اصلاح شده، روش های رانگ‐کوتا مرتبه ٢(روش هیون، نقطه میانی و اصلاح شدۀ اویلر)، رانگ‐کوتا مرتبه ٣ و رانگ‐کوتا مرتبه ۴
   • روش های چندگامی مانند روش آدامز‐مولتون
   • تحلیل خطای روش های مذکور و مقایسه آن ها
   • تبدیل معادلات دیفرانسیل درجات بالاتر به دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
   • تبدیل روش های تک گامی حل معادلات دیفرانسیل خطی به روش های عددی قابل استفاده برای حل دستگاه معادلات دیفرانسیل خطی
7. حل عددی دستگاه معادلات خطی (۴ جلسه)
   • مقدمه ای بر حل دستگاه معادلات خطی
   • مقدمه ای بر ماتریس ها
   • روش های مستقیم حل دستگاه معادلات خطی شامل روش ماتریس معکوس، روش کرامر، روش حذف گاوسی (پیشرو، پسرو و گاوس‐جردن)، روش تجزیه مثلثاتی (LU چولسکی،دولیتل و کروت)
   • روش های تکرارشونده شامل روش ژاکوبی و روش گاوس‐سایدل
   • مقادیر ویژه و بردار ویژه، روش توانی برای یافتن تخمینی از مقدار ویژه ی غالب و بردار ویژه ی متناظر با آن، و قضیه گرچ گورین

ارزیابی درس محاسبات عددی

• آزمون: آزمون های میان ترم و پایان ترم (%۵٠ کل نمره)
• تمرین: ۶ تمرین نظری (حل مسائل علمی با روش های عددی)، ۶ تمرین عملی با محیط نرم افزاری معرفی شده؛ تمرینات در طول نیمسال تحویل داده می شوند (%۴٠ کل نمره).
• پروژه: موضوع پروژه با کمک استاد انتخاب می شود. پروژه می تواند پژوهشی و یا عملی (با استفاده از ابزار معرفی شده)باشد. پس از انجام کار، نتیجه ی پروژه ی پژوهشی در قالب گزارش ارائه داده می شود. لازم به ذکر است که برای مسلط ترشدن به ابزار معرفی شده در درس ترجیح می رود که پروژه عملی باشد. همچنین پروژه های گروهی چنانچه به صورت دقیق تعریف شوند، می توانند بر توانایی های کار گروهی دانشجویان نیز تاثیر مثبت قابل توجهی داشته باشند (١٠ ٪کل نمره).

مراجع درس محاسبات عددی

[1] S. Pal. Numerical Methods Principles, Analysis and Algorithms. Oxford University Press, 2010.
[2] J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with Python 3. Cambridge University Press, 2013.
[3] J. Kiusalaas. Numerical Methods in Engineering with MATLAB. Cambridge University Press, 2015.
[4] C. B. Moler. Numerical Computing with MATLAB. MathWorks, 2013.